Etude expérimentale de l'instabilité paramétrique de plaques géométriquement imparfaites

This study deals with the effects of initial geometric imperfections on the dynamic behaviour of rectangular plates activated by a parametric excitation. This subject has been mainly theoretically investigated in the past, but no experimental data seems to be complete enough to validate the theory. The main objective of this thesis is to fill this void by performing experimental tests on geometrically imperfect plates, and to highlight the geometric imperfection's influence on resonance's curves.

The study is carried out for an isotropic, elastic, homogeneous, and thin rectangular plate. This plate is subjected to the action of an in-plane force uniformly distributed along two opposite edges. The plate under investigation is initially stress free. Four sets of boundary conditions are considered: (1) all edges are simply supported, (2) loaded edges are simply supported and the other two are loosely clamped, (3) loaded edges are loosely clamped and the other two are simply supported, (4) all edges are clamped.

Theoretical calculation and experimental tests have been performed. In the theoretical approach, a dynamic version of the Von Kármán non-linear theory is used to evaluate the lateral displacement of the plate. The temporal equations used included the presence of geometric imperfections and considered mid-plane stretching. However, shear stress and rotational inertia are neglected. A direct integration method is used to solve these temporal equations. This resolution is performed by a third order Adams-Bashforth integrator and converges rapidly to the solution.

The test rig used in the experimentation simulate simply supported and loosely clamped edges. Moreover, plates with different aspect ratio can be fixed in it. The test plates are pre-formed with lateral deflection or geometrical imperfections, in a shape corresponding to the first and second vibration mode.

Comparison between experimental and theoretical results reveals good agreement and allowed the determination of the theory's limitations. The theory used correctly describes the behaviour of the plate when imperfection amplitude is inferior to the plate thickness.

Numerical and experimental results show that imperfections can modify the non-linear parametric resonant behaviour. The well-known hard-spring behaviour of the principal parametric resonance curve becomes a soft-spring behaviour for small vibration amplitudes. However, for large vibration amplitudes, the curve exhibits the usual hard-spring behaviour. This kind of resonance curve is characterised by a jump phenomenon at the beginning of the parametric resonance. The soft-spring behaviour is influenced by the size and the shape of the imperfection, the amplitude of static force, the vibration mode and the aspect ratio of the plate. Parametric instability regions are not modified by geometrical imperfections.

Furthermore, the natural frequencies increase with increasing levels of imperfection. The temporal response obtained is non-symmetric relative to the static equilibrium position. A predominant inward deflection response (towards the imperfection centre of curvature) of the imperfect plate is found.

Alternate abstract:

Cet ouvrage porte sur l’influence des imperfections géométriques initiales sur le comportement dynamique de plaques rectangulaires soumises à une excitation paramétrique. Ce sujet a été abordé à l’aide de modèle théorique par le passé, mais à ce jour aucun résultat expérimental ne semble permettre d’en faire une validation précise. Cette thèse a donc pour principal objectif de remédier à cette lacune en effectuant une étude expérimentale du comportement de plaques imparfaites dans le but de mettre en relief les effets des imperfections géométriques sur l’allure des courbes de résonance. En second lieu, elle a comme but de pouvoir procéder à une validation du modèle théorique utilisé par le passé.

La plaque étudiée est rectangulaire, mince, isotrope, élastique, homogène, avec une légère déviation de l’état plan (imperfection géométrique). Elle est excitée dans son plan par des forces uniformément distribuées le long de deux arêtes opposées. De plus, la plaque est libre de contrainte interne Iorsqu’aucune force extérieure n ’agit sur elle. Quatre types de support sont considérés : (1) les quatre arêtes de la plaque sont simplement supportée, (2) les deux arêtes chargées sont simplement supportées et les deux autres sont encastrées, (3) les deux arêtes chargées sont encastrées et les deux autres sont simplement supportées, (4) les quatre arêtes sont encastrées.

Les travaux expérimentaux ont été effectués conjointement avec une étude théorique. Les équations utilisées pour décrire le mouvement latéral de la plaque sont une version dynamique des équations de Von Kârmân pour les grandes déformations et incluent la présence d’imperfections géométriques initiales. Ces équations tiennent compte de l’étirement de la surface moyenne mais négligent le cisaillement et l’inertie de rotation. Une méthode d’intégration directe est utilisée pour solutionner ces équations. L’intégrateur utilisé est basé sur l’algorithme d’Adams-Bashforth de troisième ordre. 

Le montage expérimental utilisé permet de simuler les conditions aux limites de support simple et d’encastrement. De plus, des plaques ayant différents rapports de forme et peuvent être fixées dans le montage. Les imperfections géométriques des plaques étudiées sont façonnées suivant une forme similaire au premier et deuxième mode de vibration, avec l’amplitude voulue.

Une comparaison entre les résultats théoriques et expérimentaux a pu être effectuée pour déterminer la validité du modèle théorique et ses limites. Pour les imperfections d’amplitude inférieure à l’épaisseur de la plaque, le modèle théorique décrit bien le comportement observé. 

Les résultats temporels obtenus numériquement et expérimentalement montrent que les imperfections peuvent modifier le comportement non linéaire des résonances paramétriques. Le comportement global du type ressort dur se transforme en un comportement du type ressort mou pour les vibrations de faible amplitude, suivi d’un comportement en ressort dur pour les vibrations de grande amplitude. Le passage d’un type de comportement à l’autre est caractérisé par un phénomène de saut en début de résonance paramétrique. La présence du comportement en ressort mou est influencé par l’amplitude et la forme de l’imperfection, la grandeur du chargement statique, le mode de vibration et le rapport de forme de la plaque. Les zones d’instabilité paramétrique ne sont toutefois pas modifiées par les imperfections géométriques.

D’autre part, les imperfections modifient les fréquences naturelles des plaques. De plus, les vibrations sont asymétriques par rapport à la position d’équilibre statique. La plaque se déforme plus du côté intérieur de la courbure, côté pour lequel le mouvement diminue la courbure initiale.